\section{附录 \thesection: Witt消去定理}\label{00A}

\begin{frame}{Witt消去定理}
Witt消去定理是二次型的理论中非常基本的一个结论。
  \begin{theorem}
设基域为特征非$2$的域，$R, S_1, S_2$为对称矩阵，且$A_1=\begin{pmatrix}
  R \\& S_1
  \end{pmatrix}$合同于$A_2=\begin{pmatrix}
      R \\& S_2
      \end{pmatrix}$. 那么$S_1$合同于$S_2$.
      \label{0F2}
  \end{theorem}

  \begin{proof}
    对$A_1$中$R$所在的行、列做一系列对称的初等变换可把$R$化成对角矩阵$\diag(d_1,\cdots,d_r)$，
    从而 $A_1\approx \diag(d_1,\cdots,d_r)\oplus S_1$; 
    对$A_2$中$R$所在的行、列做同样的一系列对称的初等变换可知
    $A_2\approx \diag(d_1,\cdots,d_r)\oplus S_2$. 
    既然$A_1\approx A_2$, 
    \[
      \diag(d_1,\cdots,d_r)\oplus S_1\approx \diag(d_1,\cdots,d_r)\oplus S_2.
    \]
    (这样，我们只用对$R$是对角矩阵的情形证明Witt消去定理即可。)
    应用数学归纳法，要证明$S_1\approx S_2$, 只用对$r=1$的情形证明，即我们要证明：
    \[
      \text{若$\begin{pmatrix}
      a \\ & S_1
    \end{pmatrix}\approx \begin{pmatrix}
      a \\ & S_2
  \end{pmatrix}$, 则$S_1\approx S_2$.}
  \]
    显然$\rank S_1=\rank S_2$, 
    应用引理~\ref{123}~
    只用证明存在矩阵$C$使得$C^{\rT}S_1C=S_2$.
\end{proof}
\end{frame}
  \begin{frame}

\begin{proof}[续]
    设
    \[\tag{1}
      D^{\rT}\begin{pmatrix}
      a \\ & S_1
    \end{pmatrix}D=\begin{pmatrix}
      a \\ & S_2
    \end{pmatrix}.
  \]
  将$D$分块为$D=\begin{pmatrix}
    b & \beta^{\rT} \\ \alpha & G
  \end{pmatrix}$, 其中$b$为数。
  此时(1)相当于
  \setlength{\arraycolsep}{1pt}
  \[\tag{2}
    \left\{
      \begin{array}{rl}
      b^2a+\alpha^{\rT}S_1\alpha&= a\\
      ab\beta^{\rT}+\alpha^{\rT}S_1G&= 0\\
      a\beta\beta^{\rT}+G^{\rT}S_1G&= S_2.
    \end{array}
  \right.
  \]
  观察(2)中式三，我们希望选取合适的$X$使得$C=G+X$能满足$C^{\rT}S_1C=S_2$, 即要求
\[
  G^{\rT}S_1G+X^{\rT}S_1G+G^{\rT}S_1X+X^{\rT}S_1X=S_2,
\]
亦即要求
\[\tag{3}
  X^{\rT}S_1G+G^{\rT}S_1X+X^{\rT}S_1X=a\beta\beta^{\rT}.
\]
进而(2)中式二启发我们取$X=c\alpha\beta^{\rT}$,
%：$C=G+c\alpha\beta^{\rT}$也许能使得$C^{\rT}S_1C=S_2$,
其中系数$c$待定。代入$X=c\alpha\beta^{\rT}$到(3)得到要求
\[
  a( (1-b^2)c^2-2bc-1) \beta\beta^{\rT}=0.
\]
  因此，只用取$c$满足$(1-b^2)c^2-2bc-1=0$即可。解之知取$c=\frac{-1}{b+1}$或$\frac{-1}{b-1}$即可。
  证毕。
\end{proof}

\end{frame}

